Une fonction linéaire est une fonction particulière. Donc f x =2x 3 . Représentations graphiques de fonctions affines et linéaires - Maths 3e - Les Bons Profs - YouTube. Par une fonction linéaire, l'image d'un produit par un nombre est le produit par ce nombre de l'image. Fiche méthode : fonctions linéaires Exercice type 1: Construire la représentation graphique de la fonction linéaire f:3xx →− La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère. 3 Un exemple détaillé: les pourcentages Un magasin augmente le prix de tous ses produits de 15%, remplir le tableau suivant: Prix avant l'augmentation en € 24,40 48,80 976 Augmentation en € 3,66 7,32 146,40. 2°/ Déterminer la fonction linéaire représentée. Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire x \longmapsto ax est une droite passant par l'origine O. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux de ses points. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La nature de sa représentation graphique c'est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique de la consommation C, en fonction de la distance d parcourue, est une droite tracée dans le repère précédent. II) Fonction linéaire et représentation graphique : 1) Propriété : Si une fonction est linéaire alors sa représentation graphique est une droite passant par l’origine. Décocher. Modèle de gréression linéaire : modèle le plus simple qui exprime la relation entre Y et X à l'aide une fonction linéaire. Reciproquement si une fonction est représentée par une droite qui passe par l'origine alors on peut en conclure qu'il s'agit d'une fonction linéaire. graphique de la fonction f : x ax est LA droite passant par l’origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; a). Les fonctions linéaires définies de ℝ dans ℝ se représentent dans le plan par une droite. Représenter graphiquement les fonctions linéaires suivantes : f( x ) = 3 x g( x ) = -2 x h( x ) = 6 x f, g et h sont des fonctions linéaires donc la courbe représentative de ces fonctions est une droite qui passe par Les quatre fonctions affines ont pour représentations graphiques f1, f2, f3 et f4. Le nombre correspond en fait à la pente de la droitea. f est donc de la forme f x =ax b. c. Déterminer graphiquement le nombre de litres d'essence consommés pour parcourir 250 km, puis vérifier par le calcul. Propriété. 5. Le nombre correspond en fait à la pente de la droitea. Par exemple, les fonctions suivantes sont linéaires : f(x) = 3x ; g(x) = 7x. La courbe qui représente une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. Cette fonction non linéaire est appelée "fonction d'activation". 1. f : x ↦ y {\displaystyle f:x\mapsto y} avec y = ax où le nombre a est un réel quelconque.Ce Reconnaitre une fonction linéaire sur un graphique Une fonction linéaire se représente toujours par une droite passant par l'originie du repaire. Si est une fonction linéaire, est une droite passant par O. Exemple : La fonction : est une fonction linéaire … La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. Soit la fonction linéaire f définie par f ( x ) = – x. • Sa représentation graphique est une droite D qui passe par l'origine. nature representation graphique. Choisissez Graphique > Graphique linéaire, puis sélectionnez un graphique linéaire en fonction de vos données et de l'apparence que vous souhaitez lui donner. 1/ f est une fonction affine car sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. Exemples de représentations graphiques de la fonction linéaire : L’abaque permet de résoudre sans calcul , par simple lecture graphique , un certain nombre de problèmes professionnels . Point méthode Pour lire graphiquement l'image d'un nombre, je le place sur l'axe des abscisses, je lui fais correspondre, par Démonstration. Lecture @ : les aba q ues . Si f est une fonction linéaire, x un nombre et k un nombre donné, alors :. Réciproquement: Si une fontion est représentée par une droite passant par l’origine, alors elle est linéaire. D'après le graphique, fl(5) = 3. Il suffit d'un second point pour tracer cette droite ; par exemple le point de coordonnées (1;12) puisque f(1)=12. D'après le graphique, fl(5) = 3. Représentation graphique d'une fonction linéaire La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère. Exercices sur les fonctions linéaires 2/6 2) On étudie maintenant le moteur 2. Intérêt. Exemples : Ce graphique … Astucienne. (en bleu sur le dessin) III. Il suffit donc de tracer la droite passant par les deux points A et B pour avoir la représentation graphique de la fonction affine f. Bonjour Une fonction linéaire est de … Représentation graphique d’une fonction linéaire. Maintenant que nous avons ajouté une fonction d'activation, l'impact de l'ajout de couches est plus important. Exemples : Ce graphique … • Si a est négatif, la droite descend. Fiche méthode : fonctions linéaires Exercice type 1: Construire la représentation graphique de la fonction linéaire f:3xx →− La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère. a) f de coefficient 5 ; c)g:x -5/4x. Dans un graphe on cherche aussi à avoir des cases, sauf qu'on utilisera deux nombres à la suite, par exemple Représentation graphique d'une fonction linéaire; Utilisation de la représentation graphique d'une fonction linéaire; Une approche pragmatique est réalisée et les thèmes suivants sont abordés : sciences; vie économique et professionnelle; Ils ont été réalisés pour une classe de 3 ème Découverte professionnelle 6 Heures. a. Quelle est la nature de leur représentation graphi ue ? Ce qui suit est donc valable pour les deux types de fonctions. Un graphique linéaire s'ordonne autour de deux axes issus des deux colonnes de données du tableau. 6/ Lecture graphique a. Méthode : déterminer une fonction linéaire . Puisque le graphique d'une fonction linéaire est une ligne , le graphique d'une fonction linéaire par morceaux se compose de segments de ligne et de rayons . A chaque nombre x, on peut donc associer son produit par a. Exemples * Représenter graphiquement les fonctions f et g ci-dessus. ( ole ( f4(x) = 2 f3(x) = 1,5x Trace la représentation graphique de chaque fonction dans le repère orthonormal donné. Lecture @ : les aba q ues . Réciproquement: Si une fontion est représentée par une droite passant par l’origine, alors elle est linéaire. 1 Introduction 2 Représentation graphique 2.1 Construction de la droite 3 Toute fonction linéaire passe par l'origine 4 Détermination d'une fonction linéaire 4.1 Exemple 5 Quelques exemples de fonctions linéaires 5.1 Exemple 6 Voir aussi On appelle fonction linéaire de coefficient (où est un réel quelconque) une fonction telle que pour tout réel , on a . En dehors des fonctions linéaires et affines, il existe d'autres fonctions dont la représentation graphique est une droite. Cette représentation s’appelle la courbe représentative de la fonction … Les fonctions linéaires et affines sont les seules fonctions numériques existantes. En effet, c'est une droite qui passe par l'origine du repère. Exemple Soit la fonction linéaire f définie par f ( x ) = – x . Tous mes cours de toute l'année sont fait sur ordinateur, et en mathématique, je dois reproduire des fonction affine, linéaire et parabole! N°2 les abaques . La représentation graphique d’une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l’origine des axes. Exemple : Soit la fonction g telle que g(2,5) = 10 et le nombre k = 5. L'ensemble des points du plan rapporté à un repère orthonormé tels que ; est appelé . Etant donné que f est une fonction affine (ou linéaire; c'est pareil étant donné qu'une fonction linéaire est une fonction affine particulière puisqu'elle inclus le point (0, 0)), on sait que l'allure de la courbe est une droite. Un cas particulier est la fonction où . La représentation graphique d'une fonction linéaire est donc une droite passant par l'origine du repère. Cours de mathématiques Fonctions 1 § 2. 2) Méthode : Lecture du coefficient directeur d'une fonction linéaire sur un graphique : Tout d’abord une fonction linéaire a pour équation y = ax alors qu’une affine est y = ax + b. Une fonction linéaire est donc un cas particulier d’une affine, en prenant b = 0. 2/ g est une fonction linéaire car représentation graphique est une droite passant par l'origine. Les fonctions linéaires définies de ℝ dans ℝ se représentent dans le plan par une droite. Par exemple, les fonctions \(u:x\mapsto -75x\) et \(v:x\mapsto 3x\) sont des fonctions linéaires. * Si une fonction est linéaire, alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Une autre est la représentation graphique de la fonction \(f\) telle que \(f:x \rightarrow -0.4x+3\). La représentation graphique d’une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l’origine des axes. N°3 . Dans le dessin ci dessous , la droite passant par « O » est une représentante de la fonction linéaire . Cette droite passe par l'origine du repère. N°1 : Les abaques. le curseur sur l’axe vertical. 2) Méthode : Lecture du coefficient directeur d'une fonction linéaire sur un graphique : Fonctions linéaires - Lectures graphiques - Corrigés d'exercices, Fonctions linéaires et fonctions affines, Mathématiques: 3ème, AlloSchool Cliquer. a) Placer le point B et montrer que B n'appartient pas à. b) on désigne par ' la droite (OB); déterminer la fonction linéaire dont la représentation graphique … Par lecture graphique, on trouve b=3 et a= 2 1 =2 . La représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est l'ensemble de tous les points de coordonnées (x ; ax). Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. avec l'aide d'une personne j'ai pu résoudre le 1°/: a) 1 a pour image -2/3 et -1 a pour image 2/3. La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. 1/ f est une fonction affine car sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. sur terminer. Une fonction linéaire est une fonction dont le graphique est une droite. • [3.122] Représenter graphiquement une fonction linéaire. La représentation graphique des fonctions affines et linéaires est toujours une droite. Si tu as déjà joué à la bataille navale, le terrain de jeu est semblable à un graphique. Quel est le coefficient de la fonction linéaire représentée ? Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax est la droite d’équation y = ax. représentation graphique de la fonction . Le coe cient de corrélation linéaire observé sur l'échantillon est r = 0,7868. Section plane de cube; Se déplacer dans la scène; intro_racine_carree; Suite récurrente du 15/06; triangle des puissances; Découvrir des ressources. SÉRIE 3 : DÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE OU AFFINE GRAPHIQUEMENT 1 Les droites (d 1), (d 2), (d 3) et (d 4) sont les représentations graphiques respectives de quatre fonctions linéaires f 1, f 2, f 3 et f 4. a.Quelles sont les coordonnées de A1, A2, A3 et A4? fl est une fonction linéaire, on cherche a tel que fl(x) = ax. Représentation graphique d'une fonction linéaire La représentation graphique de la fonction f est l’ensemble de tous les points M de coordonnées ( x ; f(x) ) obtenus en … Chapitre 10 : Fonction linéaire et représentation graphique Feuille01 Correction. serveur web interactif avec des cours en ligne, des exercices interactifs en sciences et langues pour l'enseigment primaire, secondaire et universitaire, des calculatrices et traceurs en ligne Merci beaucoup. 3) Déterminer par une lecture graphique : a) L'image de 1 par f. b) L'antécédent de 2 par f. 4) Soit B(-2,3). 1°/ Pour la fonction linéaire représentée ici, lire sur le graphique: a) les image de 1 et de -1. b) le nombre qui a pour image 1. f est donc de la forme f x =ax b. On appelle représentation graphique d'une fonction linéaire, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f (x)). d. Déterminer waphiquement la distance par- courue avec 30 litres d'essence, puis vérifier par le calcul. Mathématiquement parlant, une fonction linéaire de coefficient a est notée f(x) = ax, avec a un nombre quelconque "fixe". Le point de coordonnées 2;6 est sur la droite ; donc si x=2 alors f 2 =6. Clic droit et cliquer . Posté par . Tracer une fonction affine. Cette droite passe par l'origine du repère. Titre du graphique : Fonction linéaire. La fonction est appelée a 1 x x fonction identité (voir la fonction g ci-dessous). Modéliser avec une fonction linéaire et interpréter les résultats Reconnaître la représentation graphique d’une fonction linéaire Reconnaître l’expression d’une fonction linéaire Remarque : La réciproque est vraie : Dans un repère, toute fonction qui est représentée par une droite passant par l'origine est linéaire. Exemples de représentations graphiques de la fonction linéaire : L’abaque permet de résoudre sans calcul , par simple lecture graphique , un certain nombre de problèmes professionnels . Graphiquement, la droite linéaire passe par l’origine contrairement à l’affine. Les fonctions linéaires et affines sont des fonctions numériques parmi d'autres. b. f(x) = x² donc f n’est pas linéaire car f(x) n’est pas de la forme ax où a est un nombre donné. Graphique -> fonction Ecrire sous la forme la fonction linéaire dont la représentation graphique est la suivante (a est le coefficient de la fonction linéaire): Votre réponse : (Vous devez écrire le résultat sous la forme d'un entier ou d'une fraction la plus simple possible) Fonctions linéaires. Définition. Une fonction linéaire est une fonction de la forme f : x ax où a est un nombre réel appelé coefficient de la fonction linéaire ou coefficient de proportionnalité. Propriété. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. Exemples * Représenter graphiquement les fonctions f et g ci-dessus. Représentation graphique d’une fonction linéaire. On dit que l’équation de la droite est : y = ax. On appelle représentation graphique d'une fonction linéaire, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)). La représentation graphique de la consommation C, en fonction de la distance d parcourue, est une droite tracée dans le repère précédent. Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax est la droite d’équation y = ax. Bonsoir , je voudrez de l'aide pour un exercice de maths ; Représenter graphiquement ( unité graphique 1 cm ) la fonction linéaire . La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre x par : f\left(x\right) = 0{,}5x. Axe des ordonnées (X) : x. Axe des ordonnées (Y) : y. Dans l’onglet « Légende » Décocher : Afficher la légende. Figure 6 : Représentation graphique d'un modèle à trois couches avec fonction d'activation. d. Déterminer waphiquement la distance par- courue avec 30 litres d'essence, puis vérifier par le calcul. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux de ses points. Cours de mathématiques Fonctions 1 § 2. ; h(x) = 178x. c. Déterminer graphiquement le nombre de litres d'essence consommés pour parcourir 250 km, puis vérifier par le calcul. Par lecture graphique, on trouve b=3 et a= 2 1 =2 . La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. Fonction linéaire graphique. Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire de coefficient a est a droite qui passe par l'origine O du repère, et par le point A de coordoonnées (1 ; a). Dans le dessin ci dessous , la droite passant par « O » est une représentante de la fonction linéaire . b. Fonctions linéaires Propriété: La représentation graphique de la fonction linéaire de coefficient a est la droite qui passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; a). fl est une fonction linéaire, on cherche a tel que fl(x) = ax. A1 (1 ; 3) A2 (1 ; − 1,5) A3 (2 ; − 1) A4 (5 ; 2) b.Déduis-en quatre égalités avec f 1, f Fonction linéaire ( graphique ) Posté par DFAC59 31-01-12 à 18:18. une fonction linéaire, car les points ne sont pas alignés avec l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées (x, y) tels que y = f(x). Representer graphiquement ( unité graphique:1cm ), la fonction linéaire: a) f de coefficient 5 b) g(x) = -5/4 x c) m de coefficient -2 EXERCICE 2: Dans un repéres, une droite passe par l'origine 0 et par le point A(10; -8). En effet, si M est un point de la représentation graphique tel que x = 0, il vient nécessairement y = 0. Dans un repère, la fonction linéaire de coefficient a est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère. Si est l'image de par la fonction , on dit que est un antécédent de . L'ensemble des points du plan rapporté à un repère orthonormé tels que ; est appelé représentation graphique de la fonction . Si est une fonction linéaire, est une droite passant par O. est une fonction linéaire . représentations graphiques respectives de quatre fonctions etf4 a. Quelles sont les coordonnées de Al, A2, A3 etA4 ? 2/ g est une fonction linéaire car représentation graphique est une droite passant par l'origine. À titre d'exemple, vous pouvez mettre des données de temps dans la colonne de gauche … Imprimer Mathématiques - Réviser une notion Exploiter la représentation graphique d'une fonction linéaire Choisir ce que vous souhaitez imprimer : Vous devez sélectionner au moins une valeur. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite. Représentation graphique d'une fonction linéraire: Soit a un nombre réel quelconque. La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l’origine du repère. Calculer l'image de 3 par f . La fonction f est linéaire. 5) Graphiquement, l'antécédent de 7 est 5 (pointillés rouges sur le graphique). Une fonction linéaire est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle. Les fonctions linéaires dans un cours de maths en 3ème où nous verrons la notion d’image, d’antécédent, calcul numérique et graphique, tracé de la courbe d’une fonction linéaire connaissant les coordonnées d’un point appartenant à sa courbe. m@rina. Posté le 11/09/2007 à 20:27 . m@rina. sur échelle. a est aussi appelé le coefficient directeur de cette droite. Remarque : La réciproque est vraie : Dans un repère, toute fonction qui est représentée par une droite passant par l'origine est linéaire. Donc f x =2x 3 . Merci d'avance. Un cas particulier est la fonction où . • [3.121] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul et de son image. Si est l'image de par la fonction , on dit que est un antécédent de . Voici les différentes méthodes utilisées afin de bien tracer une fonction affine: Tracer une fonction affine grâce à une table de valeurs (cas où l'on connait deux points) Tracer une fonction affine grâce aux paramètres a et b. Vidéo sur le graphique de la fonction … * Réciproquement, si la représentation graphique d'une fonction est une droite qui passe par l'origine du repère, alors cette fonction est linéaire. a est le coefficient directeur de la droite : • Si a est positif, la droite monte. Représenter dans ce repère les fonctions linéaires suivantes : - En bleu la fonction f : x 2x - En rouge la fonction g : x -3x - En vert la fonction h : x 3 2 x - En gris k : x - 1 4 x EXERCICE 4 N°2 les abaques . On appelle le paramètre a a le coefficient directeur de la droite. N°1 : Les abaques. Représentation graphique. COURS 3ÉME COLLÈGE : fonction linéaire et fonction affine - cours mathématiques 3ème collège - avec exercices résolu- Ecomaths1 Quand on fait un tour, par exemple A3, ceci correspond à une certaine case dans le jeu de notre adversaire. CHAPITRE 11 : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES Objectifs : Fonction linéaire • [3.120] Déterminer par le calcul l'image et l'antécédent d'un nombre donné dans une fonction linéaire. Calculer l'image de g(12,5) b) m : x -2x d) n de coefficient 0.4 . représenter graphiquement la fonction linéaire a) f de coefficient5 b)g:x (fraction)-5 quart j'aimerai avoir leur coordonnée pour pouvoir les placer sur le repère merci Posté par . Auteur : sylvain perrin. Al (1 ; 3) 1,5) Déduis-en quatre égalités etf4 1,5 Déduis-en le coefficient etf4. Justifie. 0 Les droites (dl), (d), (d3) et (614) sont les représentations graphiques respectives de quatre fonctions etf4. a s'appelle le coefficient directeur de la droite. Publicité. N°3 . Secondaire 3-4. Sur la droite j'ai bien ajouter une courbe de tendance et j'ai cliqué sur fonction linéaire… Les fonctions linéaires dans un cours de maths en 3ème où nous verrons la notion d’image, d’antécédent, calcul numérique et graphique, tracé de la courbe d’une fonction linéaire connaissant les coordonnées d’un point appartenant à sa courbe. travail sur la représentation graphique des fonctions linéaires et affines (collège). mijo re : exercice : représentation graphique d'une fonction linéaire 16-01-12 à 16:41. Je voudrais savoir s'il était possible d'en créer directement avec le logiciel ou alors si quelqu'un aurai un logiciel pour en créer en image ou autre? je vous montre ce qui se passe : sur le graphique, en noir il y a la fonction soit disant linéaire mais elle ne commence pas par zéro et elle est de la forme d'une fonction affine y = 1,8868x - 0,076. Cercle trigonométrique avec points remarquables; MA5U06S03JR03; Kibal_Amelle.ggb ; convexité activité 3; Orthogonale exemple 1; Découvrir des Thèmes. La fonction est appelée a 1 x x fonction identité (voir la fonction g ci-dessous). f5 est la représentation graphique d'une fonction linéaire. Définition:On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). Exemple : Graphique 2 : La forme étirée et croissante du nuage suggère une relation positive de type linéaire entre la tension et l'âge. Il s'agit d'une fonction linéaire car elle est de la forme f : x => ax. Cliquer. Pour stabiliser l’échelle : Placer. b. Déduis-en quatre égalités etf4 AR a ) Exercice3 a. Tracer la représentation graphique de la fonction linéaireftelle quef(x)=0,8x b. Soit g lafonction linéaire telle que g(5)—-10. Considérons une fonction linéaire f: x ↦ a x avec a ≠ 0 [ 1] La représentation graphique de cette fonction est l’ensemble des points de coordonnées ( x; a x). Exercice 4 La courbe en bleu est la représentation d'une fonction linéaire. Merci d'avance j'éspére avoir beaucoup de réponse . Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = -3x g est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d 2) qui passe par O. Comme g(-2)= 6, alors d 2 passe par le point de coordonnées (-2; 6). La fonction linéaire de coefficient 1 est f (x) = x. Alors f (1) = 1. Sa représentation est donc la droite qui passe par le point (1 ; 1) et par l' origine du repère. On considère la fonction définie par f ( x ) = 2 x. Nouvelles ressources. La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées (x, y) tels que y = f(x). la représentation graphique de f dans un repère (O,I,J). E. Cette fonction représente : Le prix du taxi en fonction du kilométrage : 2,30€ de prise en charge et 5,70€ du kilomètre. II) Fonction linéaire et représentation graphique : 1) Propriété : Si une fonction est linéaire alors sa représentation graphique est une droite passant par l’origine. Déterminer l'antécédent de − 4 par f . Définition 2 : La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points M de coordonnées ( x ; f ( x ))lorsque x varie sur R . Exemple : Périmètre d’un héxagone régulier en fonction de la longueur de son côté. Les valeurs x (dans l'exemple ci-dessus -3, 0 et 3) où les changements de pente sont généralement appelés points de rupture, points de changement, valeurs de seuil ou nœuds. Exercices sur les fonctions linéaires 2/6 2) On étudie maintenant le moteur 2. Soit les fonctionsf: x 4x etg : — 4x. superBrevet, la nouvelle chaîne Youtube : https://www.youtube.com/channel/UC6vJtm6jRN-iD2wEzkpSwYQ (abonne-toi !) Imprimer Mathématiques - Réviser une notion Exploiter la représentation graphique d'une fonction linéaire Choisir ce que vous souhaitez imprimer : Vous devez sélectionner au moins une valeur. Exemple Représentation graphique de la fonction linéaire x\mapsto \frac{3}{2}x Sa représentation graphique est … En prenant x = 0 et x = 1, on a deux points sur ce graphique cartésien : O ( 0; 0) et A ( 1; a). 3ème CORRECTION DU SOUTIEN : FONCTIONS LINEAIRES PROPRIETES – IMAGES – ANTECEDENTS REPRESENTATIONS GRAPHIQUES EXERCICE 1 : Reconnaître une fonction linéaire a. f(x) = –2x donc f est une fonction linéaire de coefficient –2.