t , Pour écrire l'énoncé assez confortablement, il est ici particulièrement approprié d'utiliser des fonctions définies sur tout ℝn et prenant éventuellement la valeur +∞. Propriétés : ( ) 0 ln 1 lim 1 x x → x + = Démonstration : La fonction ln est dérivable en 1 et ln'(1)=1. α En revanche, dès que la fonction n'est pas définie partout, il faut poser quelques restrictions techniques[19]. Soit alors δ un réel strictement positif assez petit pour que f prenne des valeurs plus petites que M (et donc plus grandes que 2f(x0) – M sur la boule ouverte B2 de centre x0 et de rayon 2δ. Théorème de Froda (1929) : l'ensemble D des points de discontinuité d'une fonction monotone est fini ou dénombrable (on dit qu'il est au plus dénombrable). − Cet hyperplan ne peut contenir la droite ) Voici un premier résultat permettant de reconnaître la convexité d'une fonction au moyen de ses dérivées premières. ( R , La transformée de Legendre, formulation mathématique qui représente une fonction convexe par l'ensemble de ses tangentes, permet le développement de méthodes de linéarisation[27]. La dimension finie est utilisée ici de façon essentielle. . + R x On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe de plusieurs variables réelles (ou plus généralement : d'une variable vectorielle), qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. ] 1 Par les propriétés supposées de K, l'ensemble des fonctions K-convexes est un cône convexe de l'ensemble des fonctions de E dans F (parce que K est un cône convexe), contenant les fonctions affines (parce que K est pointé). R − y On dénomme parfois cette version l'inégalité de Jensen : Proposition — Si f est convexe sur I et si x1, … , xp sont des points de I et t1, … , tp des réels positifs ou nuls tels que t1 + … + tp = 1, alors : On appelle parfois « lemme des trois cordes » ou « inégalité des pentes » voire « inégalité des trois pentes » le résultat suivant[8] : Proposition[9] — Si f est convexe sur I pour tous points x1, x2 et x3 de I avec x1 < x2 < x3. x T ∪ − On note . 2) De nouvelles formules de dérivation (dérivée d’une composée) } ) ( { f 1 E Le point 1 est classique[3] (on utilise le passage à la limite dans les inégalités et le théorème des accroissements finis). Dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe. Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion. Proposition — Soit E un espace vectoriel topologique, f une fonction convexe et continue définie sur un ouvert convexe non vide U de E et x0 un point de U. Il existe alors une fonction affine continue qui minore f et qui coïncide avec elle en x0. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.Ce concept est tout d'abord apparu en analyse réelle pour les fonctions numériques et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la théorie des ordres − t On dit qu'une fonction ) Il existe donc dans I deux réels a < b tels que f(a) < f(b) n'ait pas lieu. La définition de la convexité fait apparaître des barycentres où les coefficients sont des réels arbitraires de [0 ; 1]. Réciproquement, si l'une des deux inégalités est vérifiée pour tous x1, x2 et x3 de I avec x1 < x2 < x3, alors f est convexe. De plus, même dans le cas du calcul de la primitive d'une fonction composée des alternatives au changement de variable existent. Alors, il existe c 2]a,b[ tel que f(b) f(a)=f0(c)(b a). K 1 On introduit les points auxiliaires x1' et x2' définis par : On remarque que ces points auxiliaires sont dans B2. Le fait que f coïncide avec f sur l'intérieur relatif de dom f provient de la continuité de la restriction de f à cet intérieur relatif, en tant que fonction convexe sur un convexe ouvert (relativement à son enveloppe affine). Il n’y a pas vraiment de démonstration à faire ici. En utilisant la première forme géométrique du théorème de Hahn-Banach, on a la garantie qu'existe un hyperplan d'appui à C passant par (x0 , f(x0)), qui est fermé. = À l'inverse, une fonction dont un même segment [AB] est situé en dessous du graphe, ou dont l'hypographe (l'ensemble des points qui sont en dessous du graphe de la fonction) est un ensemble convexe, ou encore dont, vu d'en dessous, le graphe est en creux, est dite concave. + Soit L' une ... La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction : ... n'a pas de limite en (,) . 1 } {\displaystyle [x'_{1},x_{2}]} ( On retrouve la notion de fonction convexe lorsque α = 0. de f : il est convexe par convexité de f, ouvert dans → − ) 2 { Passons à la minoration locale, valable sur toute boule B centrée en x0 sur laquelle on sache déjà majorer f par un M. Pour tout point x1 de cette boule, en introduisant le symétrique x1' de x1 par rapport à x0 et en écrivant l'inégalité de convexité pour x0 comme milieu de [x1 , x1'] et en y reportant la majoration de f(x1'), on obtient la minoration : f ( f ( une fonction différentiable. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Rappelons que la réciproque du second point est fausse (voir supra). . Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs images, pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents. ) E décroissante si et seulement si pour tout, Ce théorème se généralise aux fonctions continues sur un intervalle mais dérivables seulement sur le complémentaire d'un sous-. 2.La notion de monotonie d’une fonction. x 1 ( On verra un peu plus bas que l'hypothèse de continuité est superflue en dimension finie (c'est une conséquence de la convexité). } Soient Ω un ouvert d'un espace normé et ) ( x ) Soient deux fonctions croissantes sur I. Alors : On a une propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes. Propriétés relatives à la continuité et aux limites, Théorème de la limite monotone pour une fonction, Propriétés liées à la théorie de l'intégration, Srpskohrvatski / српскохрватски, continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle, somme d'une fonction croissante continue et d'une « fonction de saut Â», Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonction_monotone&oldid=178755814, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. Soient deux fonctions f : I → ℝ et g : J → ℝ, où I et J sont deux intervalles réels tels que f(I) ⊂ J ; on peut définir la fonction composée g ∘ f : I → ℝ. ≤ Définition — Une fonction f d'un intervalle I de ℝ vers ℝ est dite strictement convexe lorsque, pour tous x1 et x2 distincts dans I et tout t dans ]0 ; 1[, on a : Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes. Le théorème de Kachurovskii (en) montre que les dérivées des fonctions convexes sur les espaces de Banach sont des opérateurs monotones. x Y f y Y f ( x (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, Princeton University Press, 1970, 451 p. (ISBN 978-0-691-01586-6, lire en ligne). Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. si elles sont à valeurs positives, leur produit est croissant. Convexité et dérivées premières — Soient E un espace normé, Ω un ouvert convexe de E et au sens de la définition 2, l'ensemble C := dom f est un convexe et la restriction de f à C est une fonction convexe au sens de la définition 1. La limite est une notion nouvelle en 1ère, mais c’est assez simple, il suffit de connaitre quelques règles. } ] 1 : {\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}} ) La théorie des ordres traite des ensembles partiellement ordonnés et des ensembles préordonnés généraux, en plus des intervalles de réels. ) . Ω → x : ≤ R est une fonction convexe de la variable réelle t ∈ [0 ; 1] (voir supra)[14]. Certaines applications monotones remarquables sont les plongements d'ordres (applications pour lesquelles x ≤ y si et seulement si f(x) ≤ f(y)) et les isomorphismes d'ordre (les plongements d'ordres qui sont surjectifs). ¯ ) 1 K {\displaystyle \operatorname {epi} \,f:=\{(x,\,y)\in I\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\}} − 2 ) La fonction f est appelée la fermeture de f. Les fonctions convexes égales à leur fermeture sont appelées des fonctions convexes fermées ; dit autrement ce sont les fonctions convexes dont l'épigraphe est fermé, ou encore autrement dit ce sont les fonctions convexes semi-continues inférieurement[26]. Pour une fonction dérivable sur un intervalle, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée, qui est constant : toujours positif ou toujours négatif. On peut s'en démêler en modifiant simplement la valeur de f en ce point : il suffit de la diminuer et la remplacer par f +(a)[23]. − La convexité de f peut sembler claire, puisque son épigraphe est convexe comme adhérence d'un convexe, mais il y a ici un piège ! Comme en dimension 1, une fonction convexe définie sur un ouvert de ℝn est forcément continue en tout point de l'ouvert. . Le point 2 s'en déduit en utilisant la remarque 2 supra. ∞ Notion de limite La limite d’une fonction, c’est en gros « vers quoi tend » la fonction. { X {\displaystyle X} 2 x ou . ∈ , ( ( ( f Possibilité de n'utiliser que des milieux, Extension à des barycentres de plus de deux points, Géométrie du graphe d'une fonction convexe, Fonction convexe définie sur un espace vectoriel, Reconnaître une fonction convexe par ses dérivées, Une hypothèse de ce type est indispensable, car toutes les solutions, Grundzüge der Differential und Integralrechnung, Pour l'ensemble de cette sous-section, voir, Selon ce qu'en dit R. T. Rockafellar dans le, Ces remarques sont disponibles, avec leurs preuves et quelques détails, dans, Ce théorème est cité sans démonstration par, Pour l'ensemble de cette sous-sous-section, voir, lien entre monotonie et signe de la dérivée, l'inégalité de Jensen dans la leçon « Fonctions convexes », le chapitre « Convexité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle, exercice corrigé de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle, Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe, Points remarquables à la frontière d'un convexe, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonction_convexe&oldid=176975143, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, que toute fonction convexe et dérivable (sur un intervalle réel) est de. par : f R + 2 R 2 de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est. ) ) x ″ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} : En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans cette première section, on va supposer que l'ensemble de départ est un intervalle réel I. Cette restriction permet de fournir une première initiation aux fonctions convexes d'abord plus aisée et parce que la possibilité de tracer des représentations graphiques planes facilite certainement la tâche, ensuite et surtout parce que les concepts de continuité ou dérivabilité sont significativement plus maniables pour les fonctions d'une seule variable.   → , La fonction E : ℝ → ℝ est croissante sur ℝ mais pas strictement croissante (cf. → la forme linéaire continue qu'est la différentielle de f au point x. Un corollaire de ce théorème est la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle. f ( 0 est un sous-ensemble convexe de ℝ2. et à la représentation de x2 comme un point du segment [x1 , x2'], puis qu'on y insère les majorations et minorations disponibles pour les valeurs de f sur B2, on obtient rapidement la majoration souhaitée : En dimension > 1, l'ensemble négligeable des points où f n'est pas dérivable peut avoir la puissance du continu : considérer par exemple[22] l'application convexe (qui peut être non linéaire) est appelé opérateur monotone si. t ( Limite d'une composée avec la fonction exponentielle Une fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) a pour tableau de variations: 1) Déterminer le tableau de variations de la fonction \(e^u\). {\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} ∪ ∣ { { {\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} , Une telle fonction de E dans La discontinuité de f en la borne a se produit alors dans le cas où f +(a) < f(a). E } En première S, on a donné un certain nombre de formules donnant directement la dérivée d’une fonction sans avoir à revenir à la limite en adu rapport f(x)−f(a) x−a. Dès la dimension 2, les choses ne sont pas aussi confortables, comme le montre l'exemple suivant : Soit C le disque-unité fermé de ℝ2 ; considérons la fonction f définie sur C par : Cette fonction f est convexe. Ω + ∈ x x Elle permet de définir une fonction convexe comme un seul « objet » (une fonction définie sur un espace vectoriel ayant une propriété bien particulière) et non comme un couple formé d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel et d'une fonction à valeurs réelles définie sur cet ensemble convexe. On rappellera ces formules au paragraphe 3) après en avoir établi de nouvelles au paragraphe 2). x , Il faudra systématiquement faire la démonstration pour des limites de produits de matrices, en général en utilisant la continuité d’applications linéaires de la forme . 1 t En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe si : En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points A et B ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle réel I est convexe lorsque, pour tous x et y de I et tout t dans [0 ; 1] on a : Lorsque l'inégalité est stricte (avec x différent de y et t dans ]0 ; 1[), on parle de fonction strictement convexe. {\displaystyle C=\{(x,y)\in U\times \mathbb {R} \,\mid \,f(x)